Première partie - Le polyèdre de Dürer
Le calcul de la sphère du Polyèdre de Dürer ne réclame que Pythagore et Thalès.
 Albrecht Dürer   Chapitre 2 - Étude géométrique et calculs du Polyèdre
Les plans du polyèdre de Dürer, en Melencolia


Melencolia  Les plans du Polyèdre de Dürer

Ce polyèdre est un exemple d'école de la Géométrie Sacrée. Dans le développement des pavages non périodiques, on utilise les propriétés virtuoses du pentagramme, liées au nombre d'or. Elles se traduisent ici par une simplification miraculeuse du calcul...


Melencolia  La simplicité des calculs

Nous utiliserons trois outils de démonstration : le théorème des triangles semblables, le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore. En cela, nous respecterons les "usages de l'époque". Au début du XVI° Siècle, la Trigonométrie ne s'est pas encore révélée.


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1 •    Le grand Pentagramme de Dürer


Le grand Pentagramme et sa composition géométrique explique la composition de Melencolia Melencolia  Le module qui se répète dans le Polyèdre de Dürer a des propriétés singulières, que la figure du Grand Pentagramme met en évidence. La principale est dans le rapport entre la grande et la "petite largeur" du "losange" tronqué :
                          √(2+Phi) ÷ √(3-Phi) = Phi

      La divine proportion du motif de Dürer
Melencolia  Ce module, ici vu de face, va se retrouver de profil et subir une inclinaison pour se rattacher aux deux autres. Il est schématiquement représenté par le trait rouge. Dans cette position de profil, il n'a aucune épaisseur et se voit dans sa hauteur exacte.



Le Polyèdre est alors envisagé selon deux angles de vue : la vue de dessus, et la vue de profil.




Melencolia  Les triangles équilatéraux


Vue de dessus, les petites et les grandes largeurs dessinent des Triangles Equilatéraux dont les complémentaires à la base du solide, non représentés ici, viennent compléter deux hexagrammes de Salomon.









Melencolia  Disposition des figures

Le Polyèdre est alors envisagé selon deux angles de vue : la vue de dessus, et la vue de profil. Tous les points sont sur les mêmes verticales (représentant autant de plans vus de profil) puisque la rotation se fait selon un axe horizontal situé exactement face à nous. Le "chapeau rouge" vient reconstituer les losanges d'origine qui furent tronqués pour obtenir le module.

 

 2 •    Premier rayon de la sphère

Melencolia  Méthode
Nous allons calculer le premier rayon d'une sphère qui enferme ce polyèdre. En effet, deux sortes de points sont concernés, au nombre de 2x6, et on peut ramener le tout à deux calculs. Celui des points où se réunissent les grandes largeurs (en vert), et celui des points où se réunissent les petites largeurs (en rouge). Si la valeur des deux rayons est la même, la sphère est exacte. Sinon, comme le montre l'expérience du "travail manuel", la sphère sera "juste" à une marge près que nous allons établir.

Méthode de calcul de la shère du Polyèdre

Melencolia  Vue de dessus
Le centre de la Sphère est forcément à la verticale du sommet de la pyramide rouge, les trois faces étant équivalentes.

Melencolia  Vue de profil
Verticalement, ce sommet est "au milieu" de la ligne qui sépare les deux modules qui apparaissent, de façon symétrique. En réalité, deux autres faces sont cachées, qui se confondent avec celles-ci selon cet angle de vue. Le centre de la sphère est au milieu de la ligne qui unit les milieux respectifs. Sous cet angle, se segment est un point. Cette considération a son importance puisque le point d'intersection des deux grandes largeurs sur la gauche est exactement sur le plan du centre (la vue de dessus en témoigne).

Melencolia  Triangle T2
Une fois positionné, ce centre va chercher la mesure du rayon qui le sépare du point des grandes largeurs. Les cinq autres sont équivalents de par la symétrie du solide, rappelons-le. Pythagore sera notre seul outil. Nous avons besoin de deux cotes, verticale et horizontale. Le rayon est l'hypoténuse du triangle T2.

Melencolia  La Verticale
L'échelle en rouge nous permet de visualiser les rapports de hauteur. La hauteur totale du losange complet est coupée en deux par la ligne verte (grande largeur), milieu vertical du losange. Le centre de la sphère est à son tour situé au milieu de la moitié inférieure. La symétrie de la figure y oblige. En revanche, la graduation "3" en hauteur de l'échelle ne correspond pas au niveau du triangle équilatéral rouge (celui qui tronque les losanges).

Melencolia  Triangle T1
Or, la moitié supérieure du Polyèdre non tronqué, prolongé de son chapeau rouge, dessine un tétraèdre à trois faces égales dont nous pouvons calculer la hauteur. Cette hauteur correspond à deux fois la cote verticale de notre rayon. Calculons cette hauteur selon Pythagore.



Melencolia  Sur la vue de dessus, considérons le triangle équilatéral vert. Son coté est de √(2+Phi). La "hauteur" d'un triangle équilatéral fait √3÷2 fois son coté. Et le milieu du cercle qui cerne les trois sommets est au tiers de la base et au deux tiers du sommet. Ce petit segment horizontal, sur la droite de la figure, fait donc :
                                          (1÷3).(√3÷2).√(2+Phi) = √(2+Phi)÷2√3

Nous connaissons l'hypoténuse de T1, qui correspond à la moitié de (Phi+1).
Selon quoi le calcul donne, si H est la hauteur du tétraèdre (base verte) :
                                          H² + [√(2+Phi)÷2√3]² = (Phi+1)²
                                          soit :
                                          H = √[(2Phi+1)÷3] ≈ 1,188

Melencolia  Retour au triangle T2
La recherche de l'hypoténuse, rayon de la sphère, fait intervenir H/2 en hauteur et 2/3 de la hauteur du triangle équilatéral vert, soit :
                                          (2÷3)(√3÷2)√(2+Phi) = √[(2+Phi)÷3]
                                          R² = (H/2)² + (2+Phi)÷3 = [(2Phi+1)÷3]÷4 + (2+Phi)÷3
                                          R = √(2Phi+3)÷2

Le diamètre de la Sphère est donc :
                                          D = √(2Phi+3) ≈ 2,497 212 ≈ 2,5 à 1,1‰



 3 •    Deuxième rayon de la sphère

Le calcul du deuxième rayon procède de façon analogue
Le rayon de la sphère circonscrite au Polyèdre de Dürer

Melencolia  Le triangle T

Melencolia  Le coté horizontal du Triangle T fait :
                                          (2/3).(√3/2).[√(3-Phi)]
                                          Soit :
                                          Coté horizontal = √[(3-Phi)÷3]

Melencolia  Le coté vertical fait :
                                          H/2 + h1
Pour trouver h1, utilisons le théorème de Thalès :
                                          H/h2 = segment vert ÷ segment rouge =
                                          Grande largeur du module ÷ petite largeur du module =
                                          H/h2 = Phi
                                          (Donner un nom aux segments compliquerait la figure)

                                          Or : h1 + h2 = H
                                          Donc :
                                           h1 = H - h2 = H - H/Phi = H (1-1/Phi)

D'où le coté vertical :
                                          H/2 + h1 = H(1/2 + 1 - 1/Phi) = H(5/2-Phi)
                                          (5/2-Phi).√[(2Phi+1)÷3] = √[(10Phi-3)÷12]
                                          Coté vertical = √[(10Phi-3)÷12]

Melencolia  Somme du carré des deux cotés :
                                          (3-Phi)÷3 + (10Phi-3)÷12 = (2Phi+3)÷4
                                          R = √(2Phi+3)÷2

 


                                          Les deux calculs de rayon, pour les deux types de points, donnent le même résultat.

                                          Le polyèdre de Dürer est bien parfaitement inscrit dans une sphère de diamètre = √(2Phi+3).
                                          Q.E.D. (Quod erat demonstrandum, That which was to be demonstrated, C.Q.F.D., Ben corec' de mém')



 4 •    La sphère intérieure

Le rayon de la Sphère intérieure se cale sur la même figure. Les surfaces parallèles, vues de profil (des modules supérieur à droite et inférieur à gauche) présentent par trois fois la même configuration sur le Polyèdre. Il suffit de tracer les perpendiculaires aux segments qui les représentent, passant par le centre que l'on connaît. Nous allons utiliser le principe des triangles semblables, comme nous l'avons fait pour établir les propriétés du grand Pentagramme.

Le rayon de la Sphère intérieure se cale sur la même figure.

Melencolia  Considérons le triangle que fait naître le rayon avec le sommet du polyèdre non tronqué. Ce triangle est "semblable" à deux autres (l'angle du sommet est le même, et un deuxième angle est droit; le troisième est forcément égal).

   - 1er triangle semblable - La partie droite du "chapeau rouge"
   - 2nd triangle semblable - La partie droite du "Triangle de base verte".

Le second est plus pratique :
Nous allons y trouver le même rapport entre la base et l'hypoténuse :
                                          Base ÷ Hypothenuse = r ÷ 3.H/2 =
                                          (1÷2√3)[√(2+Phi)] ÷[(Phi+1)÷2]
                                           avec H = √[(2Phi+1)÷3]

                                          r = [3.√[(2Phi+1)÷3] ÷ 2].(1÷2√3)[√(2+Phi)] ÷ [(Phi+1)÷2]
                                           r = (1/2).√(2Phi-1)
                                          donc :
                                          d = √(2Phi-1) ≈ 1,495 349 ≈ 1,5 à 3,1‰

Melencolia  Rappelons que D = √(2Phi+3) ≈ 2,497 212 ≈ 2,5 à 1,1‰
Le rapport entre les deux sphères, intérieure et extérieure, est :
                                          d/D = √[(2Phi-1)÷(2Phi+3)] ≈ 0,598 807
Cette valeur est proche de 3/5 à deux pour mille près. Cette marge est typique de la Géométrie Sacrée (et sera l'objet d'un autre article).

 Albrecht Dürer   Chapitre 3 - Considérations sur la structure du motif de Dürer


Grâce à la bonne échelle, où Phi est égal au grand coté du module, nous lisons bien des nombres qui accompagnent ce polyèdre. Nous allons maintenant chercher les formes géométriques de base qui soulignent sa configuration.


 1 •    La mesure et les formes


Melencolia  Le Triangle Equilatéral

Il est dans la constitution du Polyèdre.

Melencolia  Le Cercle
Il se rapporte aux Sphères interne et externe du Solide.

Melencolia  Le Losange
Il est à l'origine du module.

Melencolia  Le Pentagone
Il accompagne tous les développements du Pentagramme.

Melencolia  L'Hexagone
L'Hexagone du Polyèdre


Melencolia  Une photo nous montre l'Hexagone qui se forme selon la vue de dessus, quand on ajoute son chapeau. Le romboèdre (cube déformé selon un axe) devient alors cube,en apparence, lui même liée à l'hexagramme de Salomon.
                                         Coté de l'hexagone = √[(2+Phi)÷3]











Melencolia  Le Carré
Les Philosophes évoquent souvent le problème de la quadrature du Cercle à propos de Melencolia. Problème insoluble s'il est est, nous allons constater la réalité de cette dissonance. Le carré est "presque" caché dans ce solide, ou plus exactement, le rectangle qui s'y cache est presque carré à 3 ‰ près... En effet, sur la figure de profil du solide, il semble que la largeur apparente d'un module soit égale à sa hauteur apparente.
Vérifions par le calcul...

La quadrature du cercle est un des thèmes philosophiques de la géométrie du polyèdre de Dürer


Approche mathématique du carré





Melencolia  Calcul horizontal - H1

Comme le montre le visuel de gauche, la largeur du rectangle vert correspond à la "hauteur" du triangle équilatéral vert,
                                         
soit : (√3÷2)√(2+Phi)

                                         H1 = √[3(2+Phi)÷4] ≈ 1,647 280



Melencolia  Calcul vertical

Sur le deuxième visuel, on fait intervenir l'inclinaison du module, qui mesure (1+Phi÷2) en hauteur exacte. Pythagore énonce que :

                                         Delta² + H3² = [1+Phi÷2]², soit :
                                         H3² = [1+Phi÷2]² - Delta²

                                         Delta = Béta.(3-Phi)
                                         avec Béta = (1÷2)√[(2+Phi)÷3]
                                         d'où : Delta² = (5÷12)(3-Phi)

                                          et [1+Phi÷2]² = (5÷4)(1+Phi)
                                         soit :
                                         H3² = (5÷4)(1+Phi) - (5÷12)(3-Phi)
                                         H3² = (5÷3).Phi
                                         H3 = √[(5÷3).Phi] ≈ 1,642 170
                                         H3 ≈ H1 à 3,2 ‰


Marge du texteCette différence illustre le problème de la quadrature du cercle. Ce carré ne se résout pas à aligner ses valeurs sur celles du cercle sans faire intervenir ∏. Cette fois comme diviseur...




Melencolia  Retour à la figure du dessus
Une autre possibilité se profile alors. Le carré de hauteur H3 aurait un angle sur la sphère (selon la projection)... Nous laisserons cette étude aux puristes...
Le Rhomboèdre est un parallélépipède non rectangle. Marge du texteMelencolia  Le Rhomboèdre

Le Polyèdre de Dürer, complété de ses parties tronquées (chapeaux), se réclame du carré en tant que Rhomboèdre. C'est un solide (à trois dimensions) ressemblant au cube, mais ses faces sont des losanges. C'est un cas particulier d'un parallélépipède : toutes ses arêtes sont de la même longueur. Le Rhomboèdre est le résultat de la déformation du cube dans la direction d'une grande diagonale.






Melencolia  Les échelles selon Phi

Le développement de la section dorée dans le Polyèdre


 




Il est intéressant de répertorier les trois segments qui arment naturellement la structure du module. C'est l'occasion de comprendre en quoi l'esprit de proportion masque la réalité de cette géométrie appliquée.

À travers trois visuels, nous pouvons successivement souligner les segments de longueur 1, Phi et 1÷Phi. Ils dessinent un maillage naturel. S'il devenaient réels, par une structure métallique par exemple, ces maillages rendraient sa construction particulièrement solide.


Les motifs ainsi mis en évidence pourraient intéresser la mécanique, le bâtiment, mais aussi la taille de pierres précieuses et qui sait, les réseaux de voirie. Certaines villes américaines, notamment Washington, font référence au Pentagramme...




Melencolia  Les visuels

À gauche en haut : Les mesures de Phi
À gauche en bas : Les mesures de 1
À droite rn bas : Les mesures de 1÷Phi
La grande hauteur du module fait Phi+1 = Phi²



Le développement de l'unité dans le Polyèdre



  Le développement de la division dorée dans le Polyèdre
Suite de l'article : Kepler
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