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Introduction à « MELENCOLIA § I » - 1514

PARTIE I - Le polyèdre de Dürer

Chapitre 2 - Étude géométrique et calculs du Polyèdre

Les plans du polyèdre de Dürer, en Melencolia

© Yvo Jacquier - Tous droits réservés.

Plans du Polyèdre de Dürer

Ce polyèdre est un exemple d'école de la Géométrie Sacrée. Dans le développement des pavages non périodiques, on utilise les propriétés virtuoses du pentagramme, liées au nombre d'or. Elles se traduisent ici par une simplification miraculeuse du calcul...

La simplicité des calculs

Nous utiliserons trois outils de démonstration : le théorème des triangles semblables, le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore. En cela, nous respecterons les "usages de l'époque". Au début du XVI° Siècle, la Trigonométrie ne s'est pas encore révélée.



2.1 • Le grand Pentagramme de Dürer

Le grand Pentagramme et sa composition géométrique explique la composition de Melencolia

Le module qui se répète dans le Polyèdre de Dürer a des propriétés singulières, que la figure du Grand Pentagramme met en évidence. La principale est dans le rapport entre la grande et la "petite largeur" du "losange" tronqué :
√(2+Phi) ÷ √(3-Phi) = Phi

La divine proportion du motif de Dürer

Ce module, ici vu de face, va se retrouver de profil et subir une inclinaison pour se rattacher aux deux autres. Il est schématiquement représenté par le trait rouge. Dans cette position de profil, il n'a aucune épaisseur et se voit dans sa hauteur exacte.


Le Polyèdre est alors envisagé selon deux angles de vue : la vue de dessus, et la vue de profil.



Les triangles équilatéraux

Vue de dessus, les petites et les grandes largeurs dessinent des Triangles Equilatéraux dont les complémentaires à la base du solide, non représentés ici, viennent compléter deux hexagrammes de Salomon.



Disposition des figures

Le Polyèdre est alors envisagé selon deux angles de vue : la vue de dessus, et la vue de profil. Tous les points sont sur les mêmes verticales (représentant autant de plans vus de profil) puisque la rotation se fait selon un axe horizontal situé exactement face à nous. Le "chapeau rouge" vient reconstituer les losanges d'origine qui furent tronqués pour obtenir le module.


2.2 • Premier rayon de la sphère

Méthode

Nous allons calculer le premier rayon d'une sphère qui enferme ce polyèdre. En effet, deux sortes de points sont concernés, au nombre de 2x6, et on peut ramener le tout à deux calculs. Celui des points où se réunissent les grandes largeurs (en vert), et celui des points où se réunissent les petites largeurs (en rouge). Si la valeur des deux rayons est la même, la sphère est exacte. Sinon, comme le montre l'expérience du "travail manuel", la sphère sera "juste" à une marge près que nous allons établir.



Méthode de calcul de la shère du Polyèdre

Vue de dessus

Le centre de la Sphère est forcément à la verticale du sommet de la pyramide rouge, les trois faces étant équivalentes.

Vue de profil

Verticalement, ce sommet est "au milieu" de la ligne qui sépare les deux modules qui apparaissent, de façon symétrique. En réalité, deux autres faces sont cachées, qui se confondent avec celles-ci selon cet angle de vue. Le centre de la sphère est au milieu de la ligne qui unit les milieux respectifs. Sous cet angle, se segment est un point. Cette considération a son importance puisque le point d'intersection des deux grandes largeurs sur la gauche est exactement sur le plan du centre (la vue de dessus en témoigne).

Triangle T2

Une fois positionné, ce centre va chercher la mesure du rayon qui le sépare du point des grandes largeurs. Les cinq autres sont équivalents de par la symétrie du solide, rappelons-le. Pythagore sera notre seul outil. Nous avons besoin de deux cotes, verticale et horizontale. Le rayon est l'hypoténuse du triangle T2.


La Verticale

L'échelle en rouge nous permet de visualiser les rapports de hauteur. La hauteur totale du losange complet est coupée en deux par la ligne verte (grande largeur), milieu vertical du losange. Le centre de la sphère est à son tour situé au milieu de la moitié inférieure. La symétrie de la figure y oblige. En revanche, la graduation "3" en hauteur de l'échelle ne correspond pas au niveau du triangle équilatéral rouge (celui qui tronque les losanges).

Triangle T1

Or, la moitié supérieure du Polyèdre non tronqué, prolongé de son chapeau rouge, dessine un tétraèdre à trois faces égales dont nous pouvons calculer la hauteur. Cette hauteur correspond à deux fois la cote verticale de notre rayon. Calculons cette hauteur selon Pythagore.

Sur la vue de dessus, considérons le triangle équilatéral vert. Son coté est de √(2+Phi). La "hauteur" d'un triangle équilatéral fait √3÷2 fois son coté. Et le milieu du cercle qui cerne les trois sommets est au tiers de la base et au deux tiers du sommet. Ce petit segment horizontal, sur la droite de la figure, fait donc :
(1÷3).(√3÷2).√(2+Phi) = √(2+Phi)÷2√3


Retour au triangle T2

La recherche de l'hypoténuse, rayon de la sphère, fait intervenir H/2 en hauteur et 2/3 de la hauteur du triangle équilatéral vert, soit :

(2÷3)(√3÷2)√(2+Phi) = √[(2+Phi)÷3]
R² = (H/2)² + (2+Phi)÷3
= [(2Phi+1)÷3]÷4 + (2+Phi)÷3
R = √(2Phi+3)÷2

Le diamètre de la Sphère est donc :
D = √(2Phi+3) ≈ 2,497 212 ≈ 2,5 à 1,1‰


2.3 • Deuxième rayon de la sphère

Le calcul du deuxième rayon procède de façon analogue
Le rayon de la sphère circonscrite au Polyèdre de Dürer

Le triangle T

Le coté horizontal du Triangle T fait :
(2/3).(√3/2).[√(3-Phi)]
Soit :
Coté horizontal = √[(3-Phi)÷3]

Le coté vertical fait :
H/2 + h1
Pour trouver h1, utilisons le théorème de Thalès :
H/h2 = segment vert ÷ segment rouge =
Grande largeur du module
÷ petite largeur du module =
H/h2 = Phi
(Donner un nom aux segments compliquerait la figure)
Or : h1 + h2 = H
Donc :
h1 = H - h2 = H - H/Phi = H (1-1/Phi)

D'où le coté vertical :
H/2 + h1 = H(1/2 + 1 - 1/Phi) = H(5/2-Phi)
(5/2-Phi).√[(2Phi+1)÷3] = √[(10Phi-3)÷12]
Coté vertical = √[(10Phi-3)÷12]

Somme du carré des deux cotés :
(3-Phi)÷3 + (10Phi-3)÷12 = (2Phi+3)÷4

R = √(2Phi+3)÷2
Les deux calculs de rayon, pour les deux types de points, donnent le même résultat.
Le polyèdre de Dürer est bien parfaitement inscrit dans une sphère de diamètre = √(2Phi+3).
Q.E.D. (Quod erat demonstrandum, That which was to be demonstrated, C.Q.F.D., Ben corec' de mém')


2.4 • La sphère intérieure

Le rayon de la Sphère intérieure se cale sur la même figure. Les surfaces parallèles, vues de profil (des modules supérieur à droite et inférieur à gauche) présentent par trois fois la même configuration sur le Polyèdre. Il suffit de tracer les perpendiculaires aux segments qui les représentent, passant par le centre que l'on connaît. Nous allons utiliser le principe des triangles semblables, comme nous l'avons fait pour établir les propriétés du grand Pentagramme.

Considérons le triangle que fait naître le rayon avec le sommet du polyèdre non tronqué. Ce triangle est "semblable" à deux autres (l'angle du sommet est le même, et un deuxième angle est droit; le troisième est forcément égal).

Le rayon de la Sphère intérieure se cale sur la même figure. Considérons le triangle que fait naître le rayon avec le sommet du polyèdre non tronqué. Ce triangle est "semblable" à deux autres (l'angle du sommet est le même, et un deuxième angle est droit; le troisième est forcément égal).

• 1er triangle semblable :
La partie droite du "chapeau rouge"
• 2nd triangle semblable :
La partie droite du "Triangle de base verte".

Le second est plus pratique :
Nous allons y trouver le même rapport entre la base et l'hypoténuse :
Base ÷ Hypothenuse = r ÷ 3.H/2 =
(1÷2√3)[√(2+Phi)] ÷[(Phi+1)÷2]
avec H = √[(2Phi+1)÷3]

r =
[3.√[(2Phi+1)÷3] ÷ 2].(1÷2√3)[√(2+Phi)]
÷ [(Phi+1)÷2]

r = (1/2).√(2Phi-1)
donc :
d = √(2Phi-1) ≈ 1,495 349 ≈ 1,5 à 3,1‰

Rappelons que D = √(2Phi+3)
≈ 2,497 212 ≈ 2,5 à 1,1‰
Le rapport entre les deux sphères,
intérieure et extérieure, est :

d/D = √[(2Phi-1)÷(2Phi+3)] ≈ 0,598 807


Cette valeur est proche de 3/5 à deux pour mille près. Cette marge est typique de la Géométrie Sacrée (et sera l'objet d'un autre article).


Chapitre 3 - Considérations sur la structure du motif de Dürer

Grâce à la bonne échelle, où Phi est égal au grand coté du module, nous lisons bien des nombres qui accompagnent ce polyèdre. Nous allons maintenant chercher les formes géométriques de base qui soulignent sa configuration.

Le Triangle Equilatéral
Il est dans la constitution du Polyèdre.

Le Cercle
Il se rapporte aux Sphères interne et externe du Solide.

Le Losange
Il est à l'origine du module.

Le Pentagone
Il accompagne tous les développements du Pentagramme.

L'Hexagone
Une vue de dessus montre l'Hexagone qui se forme, quand on ajoute son chapeau.
L'Hexagone du Polyèdre
Le romboèdre (cube déformé selon un axe) devient alors cube, en apparence, lui même lié à l'hexagramme de Salomon.

Coté de l'hexagone = √[(2+Phi)÷3]



Le carré

Les Philosophes évoquent souvent le problème de la quadrature du Cercle à propos de Melencolia. Problème insoluble s'il est est, nous allons constater la réalité de cette dissonance. Le carré est "presque" caché dans ce solide, ou plus exactement, le rectangle qui s'y cache est presque carré à 3 ‰ près... En effet, sur la figure de profil du solide, il semble que la largeur apparente d'un module soit égale à sa hauteur apparente.
Vérifions par le calcul...

La quadrature du cercle est un des thèmes philosophiques de la géométrie du polyèdre de Dürer Calcul horizontal - H1

Comme le montre le visuel de gauche, la largeur du rectangle vert correspond à la "hauteur" du triangle équilatéral vert,
soit : (√3÷2)√(2+Phi)

H1 = √[3(2+Phi)÷4] ≈ 1,647 280 Approche mathématique du carré Calcul vertical Sur le deuxième visuel, on fait intervenir l'inclinaison du module, qui mesure (1+Phi÷2) en hauteur exacte. Pythagore énonce que :

Delta² + H3² = [1+Phi÷2]², soit :
H3² = [1+Phi÷2]² - Delta²
Delta = Béta.(3-Phi)
avec Béta = (1÷2)√[(2+Phi)÷3]
d'où : Delta² = (5÷12)(3-Phi)
et [1+Phi÷2]² = (5÷4)(1+Phi)
soit :
H3² = (5÷4)(1+Phi) - (5÷12)(3-Phi)
H3² = (5÷3).Phi
H3 = √[(5÷3).Phi] ≈ 1,642 170
H3 ≈ H1 à 3,2 ‰


Marge du texteCette différence illustre le problème de la quadrature du cercle. Ce carré ne se résout pas à aligner ses valeurs sur celles du cercle sans faire intervenir ∏. Cette fois comme diviseur...

Retour à la figure du dessus Une autre possibilité se profile alors. Le carré de hauteur H3 aurait un angle sur la sphère (selon la projection)... Nous laisserons cette étude aux puristes...



Le Rhomboèdre est un parallélépipède non rectangle.

Le Rhomboèdre

Le Polyèdre de Dürer, complété de ses parties tronquées (chapeaux), se réclame du carré en tant que Rhomboèdre. C'est un solide (à trois dimensions) ressemblant au cube, mais ses faces sont des losanges. C'est un cas particulier d'un parallélépipède : toutes ses arêtes sont de la même longueur. Le Rhomboèdre est le résultat de la déformation du cube dans la direction d'une grande diagonale.


Les mesures de Phi

Le développement de la section dorée dans le Polyèdre

Les échelles selon Phi

Il est intéressant de répertorier les trois segments qui arment naturellement la structure du module. C'est l'occasion de comprendre en quoi l'esprit de proportion masque la réalité de cette géométrie appliquée.

À travers trois visuels, nous pouvons successivement souligner les segments de longueur 1, Phi et 1÷Phi. Ils dessinent un maillage naturel. S'il devenaient réels, par une structure métallique par exemple, ces maillages rendraient sa construction particulièrement solide.

Les motifs ainsi mis en évidence pourraient intéresser la mécanique, le bâtiment, mais aussi la taille de pierres précieuses et qui sait, les réseaux de voirie. Certaines villes américaines, notamment Washington, font référence au Pentagramme...


Les mesures de 1

Le développement de l'unité dans le Polyèdre Les mesures de 1÷Phi

Le développement de la division dorée dans le Polyèdre
La grande hauteur du module fait Phi+1 = Phi²

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